在球对称谐振子势阱 中运动的粒子，受到微扰作用为 λ为小常数．

在势场中作低速运动的粒子，计及相对论质能关系后，Hamilton量可以近似取为

    (1)

  其中第二项为动能的相对论修正，可以作为微扰处理．(这里没有考虑与自旋有关的相对论修正项．)试对谐振子和类氢离子，计算这个修正项对能级的影响．

三维各向同性谐振子，能量算符为

    (1)

  (x₁，x₂，x₃即x，y，z)，设此振子又受到动方向均匀力场作用，总能量算符变成

  H=H₀+H'， H'=λx₃  (2)

  视H'为微扰，试利用公式计算微扰作用后的基态平均值〈x_i〉，i=1、2、3，并和精确值比较．

自旋为0的两个全同粒子在谐振子势场

  中作一维运动．粒子间有相互作用

    (1)

  视V_int为微扰，求体系的基态能级(一级近似)．

(a)质量为m的粒子，限制在半径为R的环上自由运动，求能级和能量本征函数．(b)加上微扰

    (α＜π)

  求最低的三条能级的一级微扰修正．