设X为赋范线性空间,x_n,y_n,x,y∈X（n∈N₊).若数列λ_n→λ,且x_n→x→y（n→∞)证明:λx_n→λx,x, y_n→x y,λ_nx_n→λx.

  F'(y')(x)=y'(F(x))， x∈X

  求证：

  E_n={x∈X：‖Tx‖≤n‖x‖}，证明存在n₀∈，在X中稠密．

  y∈Y，令

  求证：

  (a)若φ为有界的，则它在X×Y上连续。

  (b)若φ为有界的，则任取x∈X，y∈Y有f^y∈X'，f_x∈Y'

  (c)若任取x∈X，y∈Y，有f^y∈X'，f_x∈Y'且X或Y为Banach空间，则φ必为有界的。

  F(x+y)=F(x)+F(y)， x，y∈X

   若F在球

  U(a，r)={x∈X：‖x-a‖＜r}， r＞0

  上是有界的，证明F是连续的、线性的。再证明当时，这个结果是错的。

  ‖F‖=sup{‖F(x)‖：x∈X，‖x‖≤1}， F∈BL(X，Y)

  是Banach空间。证明赋范空间X的对偶空间X'是Banach空间。

  α‖x‖≤‖F(x)‖， x∈X  (1)

  求证：F不为紧算子。由此推出无穷维赋范空间上的恒等算子不为紧算子。

设E是赋范线性空间，K∈E是紧集，x∈K。证明：存在K中元素y使得‖x-y‖=dist(x，K)

  g(kx+y)=kg(z)+g(y)，  (4)

  其中x，y和kx+y属于S，k在中。证明g能唯一地延拓到X上的线性泛函f。再证明f是连续的当且仅当g是连续的。