设T是从Banach空间X到赋范空间Y的线性算子，令 En={x∈X：‖Tx‖≤n‖x‖}，证明存在n0∈，在X中稠密．

设X是赋范空间，Y是Banach空间。证明由从X到Y的有界线性映射组成的空间BL(X，Y)，赋有范数

‖F‖=sup{‖F(x)‖：x∈X，‖x‖≤1}， F∈BL(X，Y)

是Banach空间。证明赋范空间X的对偶空间X'是Banach空间。

设X和Y是赋范空间，x≠{0}。证明若BL(X，Y)是Banach空间，则Y是Banach空间。

设其中X是Banach空间,Y是赋范线性空间,若对每个x∈X,{T_nx}都收敛,令证明T是X到Y中有界线性算子,并且

设X是Banach空间，Y是任一个赋范空间。若F：X→Y是从X到R(F)的线性同胚，且R(F)在Y中稠密，证明R(F)=Y

设T是从Banach空间X到Banach空间Y的有界线性算子，且TX=Y(满射)．证明：

证明：若X和Y都是非零的赋范空间，且是Banach空间，则Y必是Banach空间．

设X为赋范线性空间,则X是Banach空间的充要条件是若

使得收敛.

设(X，‖·‖)是赋范空间，X≠{θ}．证明X是Banach空间当且仅当X中的单位球面S(X)是完备的．