判断正整数集Z⁺和下面的每个二元运算是否构成代数系统。如果是，则说明这个运算是否适合交

在集合S={0，1，…，n-1}(n为任意给定的正整数)上定义了二元运算*和，其中 *为模n乘法，?为模n加法，则＜S，*，?＞构成的代数系统为

A．域

B．格

C．环，但不一定是域

D．布尔代数

下列集合和运算是否构成代数系统?如果构成，说明该系统是否满足交换律、结合律，求出该运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。

(1)有理数集Q，

(2)自然数集N，x*y=2^xy。

(3)正整数集Z⁺，x*y=gcd(x，y)，即求x与y的最大公约数。

(4)A=R，x*y=|x-y|。

(5)A={1，-2，3，2，-4}，x*y=|y|。

(6)A=Z，x*y=x+y+xy，+为普通加法。

判断下列集合关于指定的运算是否构成半群、独异点和群。

(1)a是正实数，G={aⁿ|n∈Z}，运算是普通乘法。

(2)Q⁺为正有理数集，运算是普通乘法。

(3)Q⁺为正有理数集，运算是普通加法。

(4)一元实系数多项式的集合关于多项式的加法。

(5)一元实系数多项式的集合关于多项式的乘法。

(6)，n为某个给定的正整数，C为复数集，运算是复数乘法。

对于下列集合和二元运算，判断在A上是否封闭。如果是封闭的，则指出它是否满足交换律、结合律，是否有零元和单位元。

(1)A=P({a，b})，a*b=a∪b。

(2)S^S，其中S为任意非空集合，运算为函数合成。

(3)A是非空集合B上所有关系的矩阵集合，*为关系矩阵乘法(相加采用逻辑加)。

(4)A=nZ={nk|k∈Z}，n是正整数，*为普通乘法。

(5)为集合的对称差。

(6)非空集合B上所有等价关系的集合，

设R是由方程x+3y=12定义的正整数集Z⁺上的关系，即

则(1)R中有个有序对。

(2)domR=。

(3)R{2，3，4，6}=。

(4){3}在R下的像是。

(5)R°R的集合表达式是。

通常数的加法运算可看做正整数Z₊上的二元运算，下列集合是Z₊的子集，加法运算在这些子集上封闭吗?为什么?(1)S1=|nIn是15的因子|:(2)S2={nIn是15的倍数}.

设M是正整数集．下列各法则哪些是M的代数运算? 1)a°b=ab； 2)a°b=a+b—2； 3)a°b=a．

对以下各小题给定的集合和运算判断它们是哪一类代数系统(半群、独异点、群、环、域、格、布尔代数)，并说明理由。

(1)*为普通乘法。

(2)这里的n是给定的正整数，且n≥2。

(3)S₃={0，1}，*为普通乘法。

(4)分别表示求x和y的最小公倍数和最大公约数。

(5)S₅={0，1}，*表示模2加法，为模2乘法。