若三个离散随机变量，有如下关系：X+Y=Z，其中X和Y相互统计独立。试证明： (1)H(X)≤H(Z)，当且仅当Y为常量等式成立； (2)H(Y)≤H(Z)，当且仅当X为常量等式成立； (3)H(Z)≤H(XY)≤H(X)+H(Y)，当且仅当X，Y中任意一个为常量等式成立； (4)I(X；Z)=H(Z) - H(Y)； (5)I(XY；Z)=H(Z)； (6)I(X；YZ)=H(X)； (7)I(Y；Z|X)=H(Y)； (8)I(X；Y|Z)=H(X|Z)=H(Y|Z)。

设8个等概率分布的消息通过传递概率为P的BSC进行传送。8个消息相应编成下述码字： M1=0000，M2=0101，M3=0110，M4=0011， M5=1001，M6=1010，M7=1100，M8=1111， 试问(1)接收到第一个数字0与M1之间的互信息。 (2)接收到第二个数字也是0时，得到多少关于M1的附加互信息。 (3)接收到第三个数字仍是0时，又增加多少关于M1的互信息。 (4)接收到第四个数字还是0时，再增加了多少关于M1的互信息。 (5)接收到全部四个数字0000后，获得多少关于M1的互信息。 (6)当P=0和P=0．5时，以上的结果是多少，这结果说明什么。

若P(0)=3／4，P(1)=1／4，求H(X)，H(X|Y)，H(Y|X)和I(X|Y)；