设X是Banach空间，Y是赋范空间，{Fn)是BL（X，Y)中的序列使得对X中每个x，{Fn（x)}在Y中收敛。证明若，则F∈BL（X，Y)。

设E是赋范空间X的子集。证明E在X中有界当且仅当对每个x'∈X'，x'(E)是有界数集。

设X和Y是赋范空间，F：X→Y是线性的，证明F是连续的当且仅当对每个y'∈Y'有y'。F∈X'

设F_n∈BL(X，Y)，其中X是Banach空间且Y是任一赋范空间。证明下列陈述等价：

  (a){‖Fn‖：n=1，2，…}有界；

  (b)对每个x∈X，{‖Fn(x)‖：n=1，2，…)有界；

  (c)对每个x∈X和g∈Y'，{|g(F_nx)|:n=1，2，…}有界。

设X和Y是赋范空间。E是X的有界完备凸子集，是满足下列条件的连续映射F：X→Y的集合：对0＜r＜1及x，y∈E，

  F(rx+(1-r)y)=rF(x)+(1-r)F(y)

  证明在E上一致有界当且仅当它在E上逐点有界。