把多项式x3+y3+x3-3xyx写成两个多项式的乘积.
第1题
设F是一个数域. f,g∈F[x1,x2,…,xn]是F上n元多项式. 如果存在h∈F[x1,x2,…,xn]使得d=gh,那么就说g是f的一个因式. 或者说g整除f.
(i)证明,每一多项式f都可以被零次多项式c和cf整除,c∈F,c≠0.
(ii)说f∈F[x1,x2,…,xn]是不可约的,如果除了(i)中那两种类型的因式外,f没有其它的因式. 证明,在F[x,y]里,x,y,x+y,x2-y都不可约.
(iii)举一反例证明,当,n≥2时,类似于一元多项式的带余除法不成立.
(iv)说f,g∈F[x1,x2,…,xn]是互素的,如果除了零次多项式外,它们没有次数大于零的公共因式. 证明x,y∈F[x,y]是互素的多项式. 能否找到u(x,y),v(x,y)∈F[x,y],使得xu(x,y)+yv(x,y)=1?
第3题
令R[x1,x2,…,xn]是数环R上n元多项式环. S是由n元对称多项式所组成的R[x1,x2,…,xn]的子集. 证明:存在R[x1,x2,…,xn]到S的一个双射.
[提示:利用对称多项式的基本定理,建立R[x1,x2,…,xn]到S的一个双射. ]
为了保护您的账号安全,请在“上学吧”公众号进行验证,点击“官网服务”-“账号验证”后输入验证码“”完成验证,验证成功后方可继续查看答案!