设f（z)=u（x，y)+iv（x，y)在复数平面区域R内为正规解析．则在R中每一点常存在一定的方向l，使u（x，y)沿这方向变动

线的变化率(方向微商)恒不等于零．

(解联立方程组的斜量法) 设ω_k=ω_k(x₁，x₂，…，x_n)=0(k=1，2，…，n)为包含n个未知元的联立方程组，其中诸ω_k均为x的可微函数，而且偏微商均连续．今把X=(x₁，x₂，…，x_n)看作n维空间的位置矢量，把W=(ω₁，ω₂，…，ω_n)看作位置矢量X的函数W=W(X)．又以ρ表示W的模(长度)：

  此处总是ρ(X)≥0，而ρ(X)=0的解亦就是方程组的解．于是当X₁=(x'₁，x'₂，…，x'_n)为方程组的一个近似解时(即其所相应的模ρ₁=ρ(X₁)为一相当小的正数)，则进一步的近似解X₂=(x₁₂，x₂²，…，x_n²)便可按下式求出：

假设ω_k=ω_k(x₁，x₂，…，x_n)=0(k=1，2，…，n)为包含n个未知元的联立方程组，设．试证进一步的近似解X₂又可改写成下列形式：

  其中G₁是矢量函数G在X₁处的值，而|G₁|表矢量的模．

设f(n)为一实函数，且于n→∞时，有

  则对于任一实数r必有

设0＜θ＜1．则θ^x=O(1)，(x→∞).

设δ为任意固定的小正数，则

  x=o((1+δ)^x) ,logx=o(x^δ),(x→∞).

设f(x)为定义在[0，∞)内的一个连续函数．试证于

  ．并证绝对收敛性隐含收敛性，

试应用阶的估计法证明下列积分

  于α-2β＞1时为绝对收敛；而于α-2β≤1时为发散