在F2×2中，所有2阶对称矩阵所成的集合W构成F2×2的一个子空间.证明： 是W的一个基.

已知齐次线性方程组(Ⅰ)的基础解系为α₁=(1，2，1，0)^T，α₂=(-1，1，1，1)^T；齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系为β₁=(2，-1，0，1)^T，β₂=(1，-1，3，7)^T.记方程组(Ⅰ)，(Ⅱ)的解空间分别为V₁，V₂.试求V₁∩V₂及V₁+V₂的基与维数.

设m×n矩阵A给定，记使得线性方程组Ax=b有解的m维向量b的全体构成的集合为W.证明：W是F^m的一个子空间.当x₁α₁+x₂α₂+…+x_nα_n=b时，求W的基与维数.

设A=(a_ij)_n×n是正定矩阵，对于Rⁿ中任意两个(列)向量α=(a₁，a₂，…，a_n)^T，β=(b₁，b₂，…，b_n)^T，令

  〈α，β〉=α^TAβ  (6-14)

在R^n×n中，对于A=(a_ij)_n×n，B=(b_ij)_n×n，验证

  〈A，B〉=tr(AB^T)  (6-15)

  为R^n×n的一个内积，并具体写出这个空间的柯西-许瓦兹不等式.

设α，β是欧氏空间V中任意两向量，证明平行四边形定理

  ‖α+β‖²+‖α-β‖²=2(‖α‖²+‖β‖²)

设α₁，α₂，…，α_m是欧氏空间V中的m个向量.令行列式

  证明：α₁，α₂，…，α_m线性无关的充要条件是行列式D≠0(称D为α₁，α₂，…，α_m的格拉姆(Gram)行列式).

令R[x]₂的内积为

    (6-19)

  试应用施密特正交化方法，由R[x]₂的基：f₀=1，f₁=x，f₂=x²，求R[x]₂的标准正交基.

设e₁，e₂，…，e₅是5维欧氏空间V的一个标准正交基.W是由α₁，α₂，α₃所生成的V的子空间，其中α₁=e₁+e₅，α₂=e₁-e₂+e₄，α₃=2e₁+e₂+e₃.试求W的一个标准正交基.

设e₁，e₂，…，e_n是n维欧氏空间V的一个标准正交基，α是V中任一非零向量，φ_i是α与e_i的夹角.证明

    (6-20)

设e₁，e₂，…，e_n是n维欧氏空间V的一个基.证明：如果对于V中任意两个向量α=a₁e₁+a₂e₂+…+a_ne_n，β=b₁e₁+b₂e₂+…+b_ne_n，都有

  〈α，β〉=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n  (6-23)

  则e₁，e₂，…，e_n是V的一个标准正交基.