（X，)是可测空间，μ是（X，)上的有限实测度，A∈．若，EA，有μ（E)≥0，则称A为正集．若，EA，有μ（E)≤0，则称A为负集．证明下

设(X，)是可测空间，λ，μ是上的测度(可以是正测度，带号测度或复测度)．若对每个E∈，μ(E)=0蕴涵λ(E)=0，则记为λμ．若存在A，B∈，，使|λ|(A^c)=0且|μ|(B^c)=0，则记为λ⊥μ(或μ⊥λ)．证明：

设(X，)是可测空间，μ是正测度，λ是复测度．证明λμ(记等价于λ关于μ的绝对连续性：ε＞0，δ＞0，，μ(E)＜δ，有|λ(E)|＜ε．

设是(0，1)内所有Lebesgue可测集的σ-代数，λ是Lebesgue测度，μ是上的计数测度．证明：不存在h∈L¹(μ)使λ(E)=hdμ，．

设(X，，μ)与(Y，，λ)是σ-有限的测度空间．设是上的测度使(A×B)=μ(A)λ(B)对每个A∈与B∈成立，证明=μ×λ．

设f是上的实函数，(x，y)∈，每个截口f_x是Borel可测的，每个截口f^y是连续的．证明f在上Borel可测．

设E是中的稠密集()，f是上的实函数，使得对每个x∈E，截口f_x是Lebesgue可测的，且对几乎所有的y∈，截口f^y是连续的．证明f在上是Lebesgue可测的．

设f是上的实函数，对每个x，f_x是Lebesgue可测的，对每个y，f^y是连续的．又设g：是Lebesgue可测的，且令h(y)=f(g(y)，y)．证明h在上Lebesgue可测．

构造一个在[0，1]上绝对连续的严格单调函数f使对某个E[0，1]且m(E)＞0，有f'(x)=0，x∈E．

设φ：[a，b]→是递增函数，证明：

验证下面的关系式(M1)～(M5)．其中

  (M1)

  (M2)f(f^-1(B))B，f^-1(f(A))A；

  (M3)，

  (M4)，

  (M5)f^-1(B₁\B₂)=f^-1(B₁)\f^-1(B₂)，f^-1(B^c)=[f^-1(B)]^c．