质量为m的粒子，在势场 V（x)=λ|x|ν，λ，ν＞0 中作一维运动，试根据量子化条件 求准经典近似下的能级公式．

试将一维问题的量子化条件推广应用于中心力问题中的s态，并就

  V(r)=λrν，λ，ν＞0  (1)

  的情形，求准经典条件下s态的能级公式．

质量为μ的粒子在线性中心势场

  V(r)=λr， λ＞0  (1)

  中运动，求s态(l=0)能级的准经典近似公式，并和精确解作比较．

粒子在中心力场中运动，考虑准经典近似下的s态(l=0)．定义经典径向动量

  p(r)=[2μ(E-V(r))]^1/2， r＜r_c  (1)

  r_c为经典转折点，满足

  V(r_c)=E， 即 p(r_c)=0  (2)

  由于粒子主要出现在r＜r_c范围内，如略去波函数中的振荡因子，则在r-r+dr内发现粒子的概率可以近似地取为

    (3)

  试证明

    (4)

对于中心力场的s态(l=0)，粒子距力心的平均距离的准经典近似公式可以表示成

    (1)

  p(r)为经典径向动量，r_c为经典转折点(见上题)．试对类氢离子(V=-Ze²/r，即ν=-1，λ=-Ze²)计算〈r〉，并和精确值比较．