两个大小相等、属于不同自由度的角动量J1和J2耦合成总角动量J=J1+J2，取h=1，设 （1) 则 J2=J（J+1)，J=2j，

设J₁和J₂为属于不同自由度的角动量，则它们之和J=J₁+J₂也是角动量．的共同本征态|j₁j₂jm〉简记为|jm〉．试求〈j'm'|J₁|jm〉≠0时量子数j和m的选择定则，即求Δj=(j'-j)和△m=(m'-m)的允许值．

考虑由两个自旋为1的粒子组成的体系，总自旋S=s₁+s₂，求总自旋平方及z分量(S²，S_z)的共同本征态，表示成s_1z，s_2z本征函数乘积的线性叠加(取h=1)．

量子力学中矢量算符定义成

  A=A_xe_x+A_ye_y+A_ze_z=A_αe_α其中e_x，e_y，e_z为x，y，z轴方向单位矢量，A_x等为算符或常量．α代表x，y，z分量之一．一项中下标重复出现时，要对它求和(遍及x，y，z)．设A，B，C为矢量算符，试验证下列各式：

  A·B=A_αB_α=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z  (1)

  A×B=ε_αβγA_αB_βe_γ=ε_αβγe_αA_βB_γ  (2)

  A·(B×C)=(A×B)·C=ε_αβγA_αB_βC_γ  (3)

  [A×(B×C)]_α=A·(B_αC)-(A·B)C_α  (4)

  [(A×B)×C]_α=A·(B_αC)-A_α(B·C)  (5)

  其中ε_αβγ为Levi-Civita符号，即

  ε_xyz=ε_yzx=ε_zxy=1

  ε_xzy=ε_yxz=ε_zyx=-1  (6)

  ε_αβγ=0， α，β，γ中有相同者

设A、B为矢量算符，F为标量算符，证明

  [F，A·B]=[F，A]·B+A·[F，B]  (1)

  [F，A×B]=[F，A]×B+A×[F，B]  (2)

以r、p表示位置和动量算符，l=r×P为轨道角动量算符，F=F(r，p)为由r、p构成的标量算符．证明

    (1)

计算、[p²，r²]、、

定义径向动量算符

    (1)

  试求其球坐标表达式，并求及[r，p_r]．

证明

证明

  r·l=l·r=0，p·l=l·p=0

  计算(p×l)或(l×p)和p及l的标积．

证明l²=r²p²-(r·p)²+ihr·p，进而再证明