设算符、不对易，，但是与和对易，即=0，，试计算 ，，， 其中n为正整数，λ为参变数，f为任何可以展开成正幂级数的函

设为幺正算符，证明必可分解成，与为厄米算符，并满足，．试找出、．进而再证明可以表示成，为厄米算符．

(a)设为幺正算符，对￡可导，证明满足方程

    (1)

  其中为厄米算符．

  (b)设为厄米算符，而满足式(1)，证明必满足方程进而再证明：如t=t₀时，为幺正算符，则也总是幺正算符．

证明积分方程

    (1)

  的解为

    (2)

设力学量算符满足的最简单的代数方程为

    (1)

  C₁，C₂，…为常数．试证明有n个本征值，它们都是方程f(x)=0的根．

设A为厄米或幺正矩阵(这些矩阵都是可以“对角化”的)，证明：

设|u〉、|v〉为态矢量，〈u|u〉及〈v|v〉有限，证明

  Tr|u〉〈v|=〈v|u〉， Tr|u〉〈u|=〈u|u〉

对于任何两个代表不同状态的态矢量|ψ〉及|φ〉(未归一化)，试证明下列Schwarz不等式：

  |〈ψ|φ〉|²＜〈ψ|ψ〉〈φ|φ〉

设为正定的厄米算符，|ψ〉、|φ〉为任意态矢量，证明．