xy平面中的转子Hamilton量为，I为转动惯量．

(氢原子的极化)设基态氢原子置于均匀静电场ε中．设电子电荷与折合质量分别为-e、μ，记为Bohr半径．

  (a)试用微扰论考察，电场对氢原子基态能级的影响；

  (b)当加外电场ε于物质，导致其能量的变化△E称为极化能量，可表示为，其中κ称为极化系数．不要求作具体计算，试证对于基态氢原子其极化系数满足．

某人试图来计算一个复杂原子的基态能量；他用一个归一化的试探函数计算得到下面的平均值

  〈ψ|H_k|ψ〉=50eV，〈ψ|V|ψ〉=-60eV，

  这里H_k为动能算子，V为位能算子，但V中仅包含静电相互作用．他所得的基态能量值-10eV肯定可以改善，哪怕还用他的方案，试寻找改进的基态能量值．

已知一质量为m的粒子处在如下势场中

  V(x)=λ|x|

  其中λ为一个正的实数量．今欲用变分法求基态与第一激发态，问在以下所列可能的试探波函数中应如何选取?请说明理由．并请根据你所选取的试探波函数计算基态波函数及能量．

  (1)e^-α|x|

  (2)|x|-αx²

  (3)

  (4)

  (5)

  (6)

  (7)

  (8)xe^-α|x|

  (9)

  (10)

  其中α，k均为实数参量．

一维势阱V(x)中粒子的能量本征方程为

  设存在束缚态，取基态能量E₀(有限，E₀≠-∞)为参考点，即E₀=0，则基态波函数ψ₀(x)满足

  ψ₀(x)无节点(边界点除外)．考虑如下能量本征方程，

  显然

  因此H_-可以表示为

  定义算符

氢原子下述径向方程式，取，势函数V=-1/r)

  可改写成

  其中λ_l=-2E，．令

  ，

  试证明

  A_-(l+1)A₊(l)=D(l)-1/(l+1)²，A₊(l-1)A_-(l)=D(l)-1/l²，(l＞0)，

  以及

  D(l)[A₊(l-1)χ_l-1]=λ_l-1[A₊(l-1)χ_l-1]，

  D(l)[A_-(l+1)χ_l+1]=λ_l+1[A_-(l+1)χ_l+1]．

  由此阐明A₊和A_-算符的作用是使角动量l增、l减1，但保持能量E不变．

对于三维各向同性谐振子，径向方程，势函数

  已取。上式可改写成

  D(l)χ_l(r)=λ_lχ_l(r) (9.10)

  其中，λ_l=-2E．令

  ，

  ，

  试证明

  A_-(l+1)A₊(l)=D(l)+(2l+3)，

  A₊(l-1)A_-(l)=D(l)+(2l-1)，

  B_-(l+1)B₊(l)=D(l)-(2l+3)，

  B₊(l-1)B_-(l)=D(l)-(2l-1)，

  以及

  D(l)[A₊(l-1)χ_l-1]=(A_l-1+2)[A₊(l-1)χ_l-1]，

  D(l)[A_-(l+1)χ_l+1]=(A_l+1-2)[A_-(l+1)χ_l+1]，

  D(l)[B₊(l-1)χ_l-1]=(A_l-1-2)[B₊(l-1)χ_l-1]，

  D(l)[B_-(l+1)χ_l+1]=(λ_l+1+2)[B_-(l+1)χ_l+1]．

  由此阐明算符A₊(A_-)的作用是使角动量量子数l增(减)1，能量减(增)1，而B₊(B_-)的作用是使角动量量子数l增(减)1，但能量增(减)1．

设两个全同粒子角动量j₁=j₂=j，耦合成总角动量J，

  利用CG系数的对称性，证明

  由此证明，无论是Bose子或Fermi子，J都必须取偶数．

设原子中有两个价电子，处于E_nl能级上．按LS耦合方案，l₁+l₂=L，s₁+s₂=S，L+S=J(总角动量)

大小相等的两个角动量耦合成角动量为零的态，ψ_jj00．证明j_1z=-j_2z=j，j-1，…，-j的几率都相等，即1/(2j+1)．