A.32 000
B.23 000
C.红字9 000
D.蓝字9 000
第1题
试证明:
设f∈L((0,∞)),令fn(x)=f(x)χ(0,n)(x)(n=1,2,…),则fn(x)在(0,∞)上依测度收敛于f(x).
第2题
设f∈C((0,∞)).若对任意的x>0,有f(nx)→0(n→∞),试证明f(x)→0(x→+∞).
第3题
设n∈,fn:X→[0,∞]是可测的,对
x∈X有fn≥fn+1当n→∞时,fn(x)→f(x),且f1∈L1(μ).证明
,并说明若省去条件f1∈L1(μ),这个结论推不出来.
第4题
证明:设f(x)为n阶可导函数,若方程f(x)=0有n+1个相异的实根,则方程fn(x)=0至少有一个实根。
第5题
试证明:
设fn∈L([0,1]),fn(x)≥0(x∈[0,1])且(n∈N).若
,则对a.e.x∈[0,1],存在N,使得
(n>N).
第6题
试证明:
设f∈C([0,1]),且令
f'1(x)=f(x),f'2(x)=f1(x),…,f'n(x)=fn-1(x),….
若对每一个x∈[0,1],都存在自然数k,使得fk(x)=0,则.
第7题
试证明:
设F(x),fn(x)(n∈N)是R1上的可测函数,且有|fn(x)|≤F(x),a.e.x∈R1;又对任给ε>0,均有
m({x∈R1:F(x)>ε})<+∞.
若fn(x)在R1上几乎处处收敛于0,则fn(x)在R1上依测度收敛于0.
第8题
试证明:
设fn(x)(n=1,2,…)是R1上的递增函数,若存在M>0,使得|fn(x)|≤M(n∈N,x∈R1),则存在R1上的函数f(x)以及{nk},使得.
第9题
试证明:
设fn∈C([0,1])(n∈N),且有
(0≤x≤1),fn(x)≥fn+1(x)(n∈N),则
(对x∈[0,1]一致).
第10题
设x≥0,证明f(x)=∫0x(t-t2)sin2ntdt (n为正整数)的最大值不超过
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