第1题
用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程,然后求出通解:
(4)xdy=y(xy-1)dx;(6)x2y(xy'+y)=a2 (a>0).
第2题
(a)证明其中,
是体系的约化质量.
(b)证明(定态)薛定谔方程可以写为
(c)分离变量,令ψ(R,r)=ψR(R)ψ,(r).注意到ψR(R)满足总质量为(m1+m2),势能为零,能量为ER的单粒子薛定调方程;ψr(r)满足总质量为约化质量,势能为V(r).能量为E,的单粒子薛定谔方程.系统的总能量为E=ER+Er.这告诉我们质心的运动像一个自由粒子的运动,而相对运动(即在粒子1相对于粒子2的运动)可以看做是以质量为约化质量,处于势场V(r)的单粒子的运动.在经典力学中存在完全类似的分解方法;用这种方法可以将两体问题简化为等价的单体问题.
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