任意一个n维欧氏空间都存在唯一的标准正交基。

设{α₁，α₂，…，α_n}和{β₁，β₂，…，β_n}是n维欧氏空间V的两个标准正交基，证明：如果V的一个正交变换τ使得τ(α₁)=β₁，那么τ(α₂)，τ(α₃)，…，τ(α_n)所生成的子空间与β₂，β₃，…，β_n所生成的子空间重合．

设e₁，e₂，…，e_n是n维欧氏空间V的一个标准正交基，α是V中任一非零向量，φ_i是α与e_i的夹角.证明

  

设e₁，e₂，…，e_n是n维欧氏空间V的一个标准正交基，α是V中任一非零向量，φ_i是α与e_i的夹角.证明

    (6-20)

设α1,α2……αn为n维欧氏空间V的一组基．证明：这组基是标准正交基的充分与必要条件是，对V中任意向量α都有α=(α，α1)α1+(α，α2)α2+…+(α，αn)αn．

设e₁，e₂，…，e_n是n维欧氏空间V的一个基.证明：如果对于V中任意两个向量α=a₁e₁+a₂e₂+…+a_ne_n，β=b₁e₁+b₂e₂+…+b_ne_n，都有

  〈α，β〉=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n  (6-23)

  则e₁，e₂，…，e_n是V的一个标准正交基.

设e₁，e₂，…，e_n是n维欧氏空间V的一个基.证明：如果对于V中任意两个向量α=a₁e₁+a₂e₂+…+a_ne_n，β=b₁e₁+b₂e₂+…+b_ne_n，都有

  〈α，β〉=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n  (6-23)

  则e₁，e₂，…，e_n是V的一个标准正交基.

设V是一个欧氏空间，α∈V是一个非零向量。对于ξ∈V，规定

证明：τ是V的一个正交变换，且τ²=t，t是单位变换。

线性变换τ叫作由向量α所决定的一个镜面反射。当V是一个n维欧氏空间时，证明存在V的一个标准正交基，使得τ关于这个基的矩阵有形状：

在三维欧氏空间里说明线性变换τ的几何意义。

维欧氏空间中,从一个标准正交基到另一个标准正交基的过度矩阵为

A、对称矩阵

B、正交矩阵

C、酉矩阵

D、埃尔米特矩阵

任一个维欧氏空间一定有标准正交基.

令γ₁，γ₂，···，γ_n是n维欧氏空间V的一个规范正交基，又令

K叫作一个n一方体.如果每一x_i都等于0或1，ξ就叫作K的一个顶点。K的顶点间一切可能的距离是多少?