设{xy}是一切乘积xy的集合，这里X∈{X[且y∈{y},同时x≥0和y≥0证明等式：sup{xy}=sup{x}sup{y}设{xy}是一切乘积xy的集合，这里X∈{X[且y∈{y},同时x≥0和y≥0证明等式：sup{xy}=sup{x}sup{y}

因为x≤M，x∈{X}且y≤M 1 ，y∈{y}，x≥0，y≥0即得xy≤MM 1 ，故由sup{x}=M与sup{y}=M 1 存在推出sup{xy}存在，从不等式M-ε 1 ＜x≤M，M 1 -ε 2 ＜y≤M 1 ，得出MM 1 -（ε 1 M 1 +ε 2 M-ε 1 ε 2 ）＜xy≤MM 1 因为量ε 1 M 1 +ε 2 M-ε 1 ε 2 可以任意小，所以 sup{xy}=MM 1 =sup{x}sup{y}