下面各集合都是N的子集，它们在普通加法运算下是否封闭？（1){x|x的某次幂可以被16整除}。（2){x|x与5互质}。（3){x|x是30的因子}。（4){x|x是30的倍数}。

判断下列集合对所给的二元运算是否封闭。

(1)整数集Z和普通的减法运算。

(2)非零整数集Z⁺和普通的除法运算。

(3)全体n×n实矩阵集合M_n(R)和矩阵加法及乘法运算，其中n≥2。

(4)全体n×n实可逆矩阵集合关于矩阵加法和乘法运算，其中n≥2。

(5)正数集R⁺和运算，其中运算定义为。

(6)n∈Z⁺，nZ={nz|z∈Z}，nZ关于普通的加法和乘法运算。

(7)A={a₁，a₂，...，a_n}，n≥2。运算定义如下：。

(8)S={2x-1|x∈Z⁺}关于普通的加法和乘法运算。

(9)S={0，1}，S关于普通的加法和乘法运算。

(10)S={xlx=2ⁿ，n∈Z⁺}，S关于普通的加法和乘法运算。

对以下各小题给定的集合和运算判断它们是哪一类代数系统(半群、独异点、群、环、域、格、布尔代数)，并说明理由。

(1)*为普通乘法。

(2)这里的n是给定的正整数，且n≥2。

(3)S₃={0，1}，*为普通乘法。

(4)分别表示求x和y的最小公倍数和最大公约数。

(5)S₅={0，1}，*表示模2加法，为模2乘法。

下面是一个Applet程序，其功能是进行整数加法运算，要求有3个文本区域，2个作为输入，一个作为输出，并且有异常处理来判断输入的数字是否符为整型，如果是则进行运算，否则抛出异常并显示于第3个文本区域中。请改正程序中的错误(有下划线的语句)，使程序能输出正确的结果。

注意：不改动程序的结构，不得增行或删行。

程序运行结果如下：

import java.awt.*;

import java.awt.event.*;

import java.applet.Applet;

/*

＜applet code="ex17_3.class" width=800 height=400 ＞

＜/applet＞

*/

public class ex17_3 extends Applet implements ActionListener {

TextField tf1 = new TextField(5);

TextField tf2 = new TextField(5);

TextField tf3 = new TextField(5);

Label 11 = new Label("+");

Label 12 = new Label("=");

Button btn= new Button("相加");

public void init(){

add(11);

add(tf1);

add(tf2);

add(12);

add(tf3);

add(btn);

btn.addActionListener(this);

}

public void actionPerformed(ActionEvent ae) {

try{

int a=Integer.parseInt(tf1.getText());

int b=Integer.parseInt(tf2.getText());

int x = a + b;

tf2.setText(Integer.toString(x));

}

catch(NumberFormatException nfe){

tf3.setText("error!");

}

}

}

ex17_3.html

＜HTML＞

＜HEAD＞

＜TITLE＞ex17_3＜/TITLE＞

＜/HEAD＞

＜BODY＞

＜applet code="ex17_3.class. width=800 height=400 ＞

＜/applet＞

＜/BODY＞

＜/HTML＞