设正整数的序偶集合A.在A上定义的二元关系R如下:＜ ＜ x,y ＞ ,＜ u,v ＞ ＞∈R.当且仅当x_v=y_u.证明:R是一个等价关系。

设正整数的序偶集合A，在A上定义的二元关系R为〈〈x，y〉，〈u，v〉〉∈R，当且仅当xv=yu，证明：R是一个等价关系．

令X表示所有正整数序列(xi)的集合,定义p:XxX→R使得对于任何a,β?X

式中n=min{i?Z.|a(i)≠β(i)}.证明:

(1)p是X的一个度量;

(2)度量空间(X,ρ)是完备的.

设I₊是正整数集合，集合A，B，C分别为：

  A={x|x+kπ，k∈I₊}

  B={x|=2kπ+，k∈I₊}

  C={x|x=+2π，k∈I₊}

  求下列运算结果：

设Z为整数集合，在Z上定义二元运算°，x，y∈Z有x°y=x+y-2，那么Z与运算°能否构成群?为什么?

整数集I上的一元运算定义如下:

(m)=m'(modk)

其中r,k为给定正整数,又定义I上的关系~:

X~y当且仅当x=y(modk)

问一是否是代数结构<l,>上的同余关系.