设＜R,+,0＞为加群,R上定义运算·,对任意a,bR,a,b=0.证明为一环.

设(A，∨，∧)是一个布尔代数，如果在A上定义二元运算为，对于任意a，b∈A，有ab=，证明：(A，)是一个阿贝尔群．

设R是实数集，R上的二元运算*定义为：a*b=a+b+ab。

设“*”是实数集R上的二元运算，使得对于R中的任意元素a，b，都有a*b=a+b+a·b．

试证明(R，*)是单元半群．

设u是群(G，)中取定的一个元素，其逆元素为u^-1，对G定义运算*为：对任意a，b∈G，a*b=au^-1b，试证明(G，*)也是一个群．

设u是群(G，)中给定的一个元素，其逆元素为u^-1，对G定义一个新的运算“*”：对任意a，b∈G，．试证明(G，*)也是一个群。

设R是实数集合，R上的二元运算定义为ab=a+b-1，定义为ab=a+b-a×b。证明(R，，)是域。

设u是群(G，+)中取定的一个元素，其逆元素为u^-1，对G定义运算*为：对任意a，b∈G，a*b=a*u^-1*b，试证明(G，*)也是一个群．

设在整数集Z上的*运算定义如下：对于任意是否为群。

设G=R×R，R为实数集，G上的一个二元运算+定义为

〈x₁，y₁〉+〈x₂，y₂〉=〈x₁+x₂，y₁+y₂〉．

又设H={(x，y)|y=2x}，证明：(G，+)为阿贝尔群，(H，+)为子群，并求(x₀，y₀)H，(x₀，y₀)∈G．