1)设A为一个n级实矩阵，且|A|≠0，证明A可以分解成A=QT，其中Q是正交矩阵，T是上三角形矩阵：ii＞

设A是一个n级可逆复矩阵，证明：A可以分解成A=UT。其中U是酉矩阵，T是一个上三角形矩阵：

其中对角线元素t_ii(i=1，2，...，n)都是正实数，并证明这个分解是唯一的。

设A是实数域上的n级可逆矩阵，证明：A可以分解成A=TB，其中丁是正交矩阵，B是上三角矩阵，并且B的主对角元都为正数；证明这种分解是唯一的．

设A为n阶矩阵，如果A的顺序主子式不等于0，则A可分解为一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，且这种分解是唯一的。()

设矩阵A_m×n的一个满秩分解为A=FG，求矩阵的一个满秩分解．

设A为正规矩阵，则A的谱分解式有A=λ1U1U1H+λ2U2U2H+…+λnUnUnH，其中U1U2，…，Un是A的n个特征值λ1λ2，…，λn对应的标准正交特征向量．

若n阶非奇异矩阵A的前n-1阶顺序主子式有的为0，则可以在A的左边或右边乘以初等矩阵，就将A的行或列的次序重新排列，使A的前n-1阶顺序主子式非0，从而可以进行三角分解?()

设x，Ax的向量范数为∥.∥2，证明：它对应的算子范数是证 对任意矩阵A，存在酉矩阵u，V，使得矩阵A的奇异值分解为A=UDV．其中σ1，σ2，…，σn是矩阵A的奇异值，D=diag(σ1，σ2，…，σn)．

设S={x|Ax≥b}，其中A是m×n矩阵，m＞n，A的秩为n．证明x(0)是S的极点的充要条件是A和b可作如下分解：

其中，A1有n个行，且A1的秩为n，b1是n维列向量，使得A1x(0)=b1，A2x(0)≥b2．

我们知道，复数域C上每一n阶矩阵A都相似于一个上三角形矩阵

令

(i)证明N是幂零矩阵，于是B=D+N。这样能不能作为定理2的证明?

(ii)设，B=D+N是不是B的若尔当分解?B的若尔分解应该是什么样子?

(iii)仔细地读一下定理2，再看一看用(i)作为定理2的证明错在哪里?

地定义V的一个线性变换α_A：V→V：对于任意X∈V=M_n(C)，α_A(X)=AX-AX。

(i)证明，r是非负整数，由此推出，如果A是幂零矩阵，那么α_A是V的幂零变换;

(ii)如果A=D+N是A的若尔当分解，其中D是A的可对角化部分，N是幂零部分，那么α_D和α_N分别是线性变换α_A的若尔当分解。