用一阶谓词逻辑推导证明B与x无关。

若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导函数,且

证明:在(x₁,x₃)内至少有一点ξ,使得f"(ξ)=0.

找出以下十二个句子所对应的谓词表达式。

a)所有教练员是运动员。(J(x),L(x))

b)某些运动员是大学生。(S(x))

c)某些教练是年老的,但是健壮的。(O(x),V(x))

d)金教练既不老但也不是健壮的。(j)

e)不是所有运动员都是教练。

f)某些大学生运动员是国家选手。(C(x))

g)没有一个国家选手不是健壮的。

h)所有老的国家选于都是运动员。

i)没有一位女同志既是国家选手又是家庭妇女。(W(x),H(x))

j)有些女同志既是教练员又是国家选手。

k)所有运动员都钦佩某些教练。(A(x,y))

I)有些大学生不钦佩运动员。

给定解释I和I下的赋值σ如下。

(a)个体域为实数集R。

(b)特定元素

(c)特定函数

(d)特定谓词

(e)σ(x)=1，σ(y)=-1。

给出下列公式在I和σ下的解释，并指出它们的真值。

设函数f(x)在[01]上二阶可导,且f"(x)≤0,x∈[0,1],证明:

设< A,≤>是一个分配格,a,b∈A且a<b,证明:是一个从A到B的同态映射.其中,B={x|x∈A且a ≤x≤ b}</b,证明:

设解释I为：

(a)个体域为实数集R。

(b)R上特定元素

(c)R上特定函数

(d)R上特定谓词

I下的赋值σ：σ(x)=1，σ(y)=-1。

讨论下列各式在I和σ下的真值。

设解释I为：

(a)个体域为自然数集N。

(b)N中特定元素

(c)N上特定函数

(d)N上特定谓词

I下的赋值σ：σ(x)=1，σ(y)=0。

讨论下列各式在I和σ下的真值。

设E(x)表示“x是偶数”，0(x)表示“r是奇数”、P(x)表示“x是质数”，N(x)表示“x是负数”，I(x)表示“x是整数”和一些中缀表示的谓词诸如y=x²+1等、将下列各句译成逻辑符：

(a)一个整数是奇数，如果它的平方是奇数。

(b)两个偶数之和是偶数。

(c)一个偶数和一个奇数之和是一个奇数。

(d)有两个奇数它们的和是奇数。

(e)任何整数的平方都是负数。

(f)有某个质数其平方是偶数。

(g)不存在一个整数x使x²+1是负数。

(h)对任何两个整数x和y，z-y或y-x是非负的。

(i)如果1=3，那么任何整数的平方是负的。

(j)如果1=3，那么任何整数的平方是正的。

(k)任何两个质数之和是一个质数。

(d)存在两个质数其和是质数。

(m)对任何整数，如果它的平方是负的，那么1=1。

设< L, ≤>是一个分配格，a b∈L且a < b,证明是一个从L到S的同态映射。其中S={x|x∈L且a ≤x ≤b}。