对于角动量算符（a) 在直角坐标系中，推导各分量之间的对易关系，并归纳出统一的表达式。（b) 定义

设J为角动量，A为矢量算符，满足关系(取h=1)

  [J_α，A_β]=iε_αβγA_γ

  在(J²，J_z)表象中，证明

质量μ，电荷q的粒子在磁场B=▽×A中运动，定义机械角动量算符

  L=μr×v  (1)

  其中v为速度算符．计算dv/dt和dL/dt．

对于两个自旋1/2粒子组成的体系，证明张量算符

  

  与S²和J对易．S为总自旋，J为总角动量，J=S+l，l为体系的轨道角动量，在质心坐标系中，l的算符形式为

  l=r×p=-ihr×V， r=r₁-r₂ (相对坐标)

下列说法正确的是：()

A、质点作匀速圆周运动，其动量守恒。

B、不计阻力时，抛体在平面直角坐标系OXY中运动，在X轴方向上动量守恒，在Y轴方向上动量不守恒。

C、用锤狠击钉子，钉子就很容易进入木块中，这是因为锤的冲量较大的缘故。

D、系统的动量守恒，其动能必守恒

考虑两个自旋1/2的非全同粒子组成的体系，粒子间作用势为中心势，V=V(r)，r=|r₁-r₂|．在质心坐标系中体系的总能量算符可以表示成

    (1)

  μ为折合质量．体系的相对运动轨道角动量算符为

  l=-ihr×▽

  体系的轨道状态(H，l²，l_z的共同本征态)记为ψ_nlm(r，θ，φ)．单粒子自旋、总自旋、总角动量及相应本征值记为(取h=1)

  ，

    (2)

  s²=s(s+1)， s=1，0

  J=l+s，J²=j(j+1)，J_z=m_j

  设两粒子的相互作用能中还包含微弱的张量力成分：

  H'=λ[3(σ₁·r)(σ₂·r)/r²-σ₁·σ₂]  (3)

  视H'为微扰，试计算³p₂及³p₁能级的微扰修正(一级近似)．

一质量为m的质点沿着一条曲线运动,其位置矢量在空间直角坐标系中的表达式为r= acosti+bsintj ,其中a、b皆为常量,则此质点对原点的角动量L=_________ , 此质点所受对原点的力矩M=___________________.

质量为m的粒子处于角频率为w的一维谐振子势中。

(a)写出在坐标表象中的哈密顿算符，本征值及本征函数(可不归一化)

(b)写出在动量表象中的哈密顿算符

(c)证明在动量表象中，哈密顿算符的矩阵元为

一质量为m的质点沿一空间曲线运动，该曲线在直角坐标系下的定义式为

其中a、b、ω皆为常量,则此质点所受的对原点的力矩M=____，该质点对原点的角动量L =_____

原子结构的理论指出：角动量的绝对值和角量子数l的关系为：，而角动量在空间给定方向(例如z轴方向)的分量大小与磁量子数关系为：，且角动量的方向有如下关系：。试由上述关系式通过计算确定：某原子的2p轨道角动量与z轴分量的夹角为45°时，描述该轨道上电子的运动状态可采用的量子数具有怎样的组合?

质量为μ，电荷为q的非相对论性粒子在电磁场中运动时，Hamilton算符为

    (1)

  其中A(r，t)和φ(r，t)是电磁场的矢势和标势，p是正则动量算符，

  p=-ih▽  (2)

  定义速度算符

    (3)

  求v的具体表示式以及v各分量间的对易式．