一维无限深势阱（0＜x＜a) 中的粒子，受到微扰作用求基态能量的一级修正。

一维无限深势阱(0＜x＜a)中的粒子，受到微扰H'作用

    求基态能量的一级修正．

有一种简化的“一维氦原子”模型，原子核一电子以及电子-电子间的作用势均用δ势阱(垒)表示，总能量算符取为

    (1)

  其中x₁、x₂表示电子1和2的坐标，Ze是原子核电荷．如采用自然单位，即距离以a₀/Z为单位(a₀是Bohr半径)，能量以Z²e²/a₀为单位，则H可以简化成

    (2)

  如视电子-电子作用势(上式中最后一项)为微扰，试求体系的能级(一级近似)，并和三维氦原子的微扰论结果比较．

粒子在一维势场V(x)中运动，能级为，n=1，2，3，…．如受到微扰作用，求能级修正(三级近似)，并和能级的精确值比较．

质量为m的两个粒子处于谐振子势中．设一个粒子处于基态ψ₀(x)，一个粒子处于第一激发态ψ₁(x)．当不计及两个粒子相互作用时，两个粒子组成的体系的波函数可分三种情况：(1)两粒子可以分辨(非全同)情况，波函数不计及交换对称性，

  ψ_D(x₁，x₂)=ψ₀(x₁)ψ₁(x₂)  (1)

  (2)对于全同粒子(不可分辨)，空间波函数要求满足交换对称或反对称，

    (2)

    (3)

  例如，对于自旋为0的两个全同粒子，空间波函数就应该为ψ_S，而对于自旋为1/2的粒子，若处于自旋三重态，则空间波函数应取ψ_A，若处于自旋单态，则空间波函数应取ψ_S．

  现假设两个粒子有相互作用

    (4)

  g表示作用强度，d表征力程．不难证明

    (5)

  试用微扰论一级近似计算三种情况下的能级移动和两个粒子相对位置分布的特点．

有一量子力学体系，能级和能量本征态记为E_n，，n=0，1，2，…．t≤0时，体系处于基态．t≥0时受到微扰H'(x，t)=F(x)e^-t/τ作用．试用一级微扰论计算经过足够长时间()后体系处于激发态ψ_n的概率．

一电子在势中作一维运动，同时受到沿x方向一均匀电场的微扰，电场强度为E．试确定该系统由于电场存在所引起的能级移动．

上题中，如二粒子间有微弱相互作用(当作微扰)

  H'=V₁₂=Aδ(x₂-x₁)=Aδ(x)  (1)

  求体系的最低三个能级的一级微扰修正．

设一维运动的微观粒子处的波函数为

ψ(x)=Axe^-λx(x≥0)，

ψ(x)=0(x≤0)，

三维各向同性谐振子，能量算符为

    (1)

  (x₁，x₂，x₃即x，y，z)，设此振子又受到动方向均匀力场作用，总能量算符变成

  H=H₀+H'， H'=λx₃  (2)

  视H'为微扰，试利用公式计算微扰作用后的基态平均值〈x_i〉，i=1、2、3，并和精确值比较．

设有二维正方鼢晶体势场为U(x，y)=-4Ucos

用近自由电子近似的微扰论，近似求出布里渊区顶角

处的能隙。