其中Z为整数集，+，•分别为普通加法与乘法，Z_n={0，1，…，n-1}，分别为模n加法和模n乘法。令f：Z→Z≇

在集合S={0，1，…，n-1}(n为任意给定的正整数)上定义了二元运算*和，其中 *为模n乘法，?为模n加法，则＜S，*，?＞构成的代数系统为

A．域

B．格

C．环，但不一定是域

D．布尔代数

整数集Z对于整数的加法和乘法运算构成一个环．(  )

设(Z，·)为代数系统，Z为整数集，·是普通乘法．又设B={1，-1，0}，⊙是定义在B上的二元运算，规则如表5-17所示，试做出(Z，·)到(B，⊙)的同态映射．

  

表5-17
⊙	1	-1	0
1	1	-1	0
-1	-1	1	0
0	0	0	0

判断下列集合对所给的二元运算是否封闭。

(1)整数集Z和普通的减法运算。

(2)非零整数集Z⁺和普通的除法运算。

(3)全体n×n实矩阵集合M_n(R)和矩阵加法及乘法运算，其中n≥2。

(4)全体n×n实可逆矩阵集合关于矩阵加法和乘法运算，其中n≥2。

(5)正数集R⁺和运算，其中运算定义为。

(6)n∈Z⁺，nZ={nz|z∈Z}，nZ关于普通的加法和乘法运算。

(7)A={a₁，a₂，...，a_n}，n≥2。运算定义如下：。

(8)S={2x-1|x∈Z⁺}关于普通的加法和乘法运算。

(9)S={0，1}，S关于普通的加法和乘法运算。

(10)S={xlx=2ⁿ，n∈Z⁺}，S关于普通的加法和乘法运算。

判断以下映射是否为同态映射，如果是，说明它是否为单同态和满同态。

(1)G为群，φ：G→G，φ(x)=e，x∈G，其中e是G的幺元。

(2)G=<Z，+>为整数加群，φ：G→G，φ(n)=2n，n∈Z。

(3)G₁=<R，+>，G₂=<R⁺，·>，其中R为实数集，R⁺为正实数集，+和·分别为普通加法和乘法。φ：G₁→G₂，ψ(x)=e^x，x∈R。

给定环({5x|x∈Z}，+，·)，其中Z是整数集，+和·是普通的加法和乘法，它______整环，因为______

判断下列集合关于指定的运算是否构成半群、独异点和群。

(1)a是正实数，G={aⁿ|n∈Z}，运算是普通乘法。

(2)Q⁺为正有理数集，运算是普通乘法。

(3)Q⁺为正有理数集，运算是普通加法。

(4)一元实系数多项式的集合关于多项式的加法。

(5)一元实系数多项式的集合关于多项式的乘法。

(6)，n为某个给定的正整数，C为复数集，运算是复数乘法。

设|M|＞1．证明：集合M的全体非双射变换关于变换的乘法不能作成群．

设(A，+，×)是代数系统，其中+、×是普通加法和乘法，A为下列集合：问：(A，+，×)是环吗?

  (1)A是所有偶数组成的集合

  (2)A是所有奇数组成的集合

  (3)A是正整数集合

  (4)A是非负整数集合

计算mod4的整数的加法表和乘法表。