设X1X2X3X4构成马氏链，证明I（X1;X3)+I（X2;X4)≤I（X1;X4)+I（X2:X3)

设{X_n，n≥0}是具有3个状态0，1，2的齐次马氏链，一步转移概率矩阵为

,

初始分布为p_i（0）=P{X₀=i}=1/3，i=0，1，2

（1）试求P{X₀=0，X₂=1，X₄=1}；

（2）试求P{X₂=1，X₄=1，X₅=0|X₀=0}；

（3）试求P{X₂=1，X₄=1，X₅=0}。

设马氏链{X_n，n≥0}的状态空间为I={1，2，3}，初始分布为一步转移概率矩阵为

 (1) 计算P{X₀=1，X₁=2，X₂=2}．

  (2) 证明P{X₁=2，X₂=2|X₀=1}=p₁₂p₂₂．

  (3) 计算P₁₂(2)=P{X₂=2|X₀=1}．

  (4) 计算p₂(2)=P{X₂=2}．

(1)

(2)

(3) I(X; Y/Z)≥0，当且仅当(X, Y, Z)是马氏链时等式成立。

假设X，Y，Z为零均值方差等于1的高斯随机变量，且X→Y→Z构成马氏链。X与Y的相关系数为ρ₁，Y与Z的相关系数为ρ₂，求：

(1) H(X_n|X_o)= H(X_-n|X_o)。

(2) H(X_n|X_o)≥ H(X_n-1|X_o)。

(3) H(X_n|X₁X₂...X_n-1)是n的增函数。

(4) H(X_n|X₁...，X_n-1，X_n+1，...，X_2n)是n的非增函数。

设一齐次马氏链X₁，X₂，…，各X_i取值于符号集{a₁，a₂，a₃}，状态转移概率矩阵为：，则状态平稳分布为π₁=______，π₂=______；π₃=______，该马氏链的符号熵为______比特/符号。

设X₀=1，X₁，X₂，…，X_n，…是相互独立且都以概率p(0＜p＜1)取值1，以概率q=1-p取值0的随机变量序列，令，证明{S_n，n≥0}构成一马氏链，并写出它的状态空间和一步转移概率矩阵．