患者，女性，45岁。失眠2年，经常多梦少寐，入睡迟，易惊醒，平常遇事惊怕，多疑善感，气短头晕，舌淡，脉弦

试证明：

设{f_n(x)}是R¹上非负实值可积函数渐降列，且f_n(x)→0(n→∞，x∈R¹)，令，则

．

试证明：

设f∈L(R¹)且f(x)≥0(x∈R¹)，则存在闭集列：，使得

， f∈C(F_n) (n∈N)．

试证明：

设是有界闭集，f_n∈C(F)．若f_n(x)在F上一致收敛于f(x)，则值域.

试证明：

设{f(x)}是[0，1]上非负连续函数列，且满足

f₁(x)≥f₂(x)≥…≥f_n(x)≥…，x∈[0,1]， (*)

(0≤x≤1)，M=sup{f(x):0≤x≤1}，

则存在x₀∈[0，1]，使得f(x₀)=M．

试证明：

设f(x，y)在R¹×R¹上分别是一元连续函数，则存在f_n∈C(R²)(n∈N)，使得

， (x，y)∈R².

试证明：

设F(x)，f_n(x)(n∈N)是R¹上的可测函数，且有|f_n(x)|≤F(x)，a．e．x∈R¹；又对任给ε＞0，均有

m({x∈R¹：F(x)＞ε})＜+∞.

若f_n(x)在R¹上几乎处处收敛于0，则f_n(x)在R¹上依测度收敛于0．

试证明：

设f_n(x)(n=1，2，…)是R¹上的递增函数，若存在M＞0，使得|f_n(x)|≤M(n∈N，x∈R¹)，则存在R¹上的函数f(x)以及{n_k}，使得．

试证明：

设F_n(x)(n∈N)以及f(x)是定义在R¹上的实值函数，且有f_n(x)→f(x)(n→∞，x∈R¹)，则

(i)(t∈R¹).

(ii)．

试证明：

设f_n∈C([a，b])(n∈N)，且(a≤x≤b)．则(λ∈R¹)是F_σ集．

试证明：

设f_n∈C(F)(n∈N，是闭集)，则{f_n(x)}的收敛点集E是F_σδ型集．