证明：设X是Hausdorff空间，A，B是X的两个不相交的紧致子集，则A，B分别有开邻域U，V使得U与V不相交。

设X是拓扑空间，若X的任意两个隔离子集A，B分别有开邻域U和V使，则称X是完全正规空间．证明拓扑空间是完全正规空间的当且仅当它的每个子空间完全正规．

设X是距离空间，F₁，F₂为X中不相交闭集。证明：存在开集G₁，G₂，使得

设μ是紧Hausdorff空间X上的一个正则Borel测度，假定μ(X)=1．证明存在一个紧集KX使得μ(K)=1，但对K的每个紧的真子集H有μ(H)＜1．

设A₁，A₂是度量空间X中的两个集，ρ(A₁，A₂)=ρ(x，y)＞0．证明必有不相交的开集G₁，G₂分别包含A₁，A₂．

设(X，τ)是Hausdorff拓扑线性空间，E是X的闭线性子空间，π：X→X/E是商投射，使得

π(x)=x+E(x∈X)，τ_E={VX/E：π^-1(V)∈τ}．

证明：

设(X,p)是一个度量空间.X中的任意两个非空子集A和B的距离p(A,B)定义为:

证明:如果A和B是度量空间(X,p)中的两个非空的紧致子集,则存在使得

如果将上面题中的条件"A和B是度量空间(X,ρ)中的两个非空的紧致子集”分别换成

(1)A和B是度量空间(X,p)中的两个非空的闭子集;或

(2)A和B是度量空间(X,p)中的两个非空子集,其中A是紧致的,B是闭的,相应的结论是否仍然正确？给出你的结论和论证.

A.若A是紧致的，则A具有有限相交性质

B.若A是紧致的，则A是有界闭集

C.若A是紧致的，则A是闭集

D.若A中任一点列都有子列收敛于A中的点，则A是紧致的

A.x>a

B.x与a不相交

C.x～a

D.x=a