第1题
第3题
设X与Y是赋范空间,若映射T: XY满足(),则称T是拓扑同构映射.
A、T是双射
B、T是线性映射
C、T是连续的
D、是连续的
第4题
设F(x)是由距离空间X到距离空间X1中的连续映射,A在X中稠密,证明:f(A)在F(X)中稠密。
第7题
设(X,,μ)是测度空间,其中X是局部紧的σ-紧的Hausdorff空间,拓扑为τX,,μ是正则的且对X的任何紧集K有μ(K)<∞(注意就是这样的空间).设(Y,τY)为拓扑空间,f:X→X连续,且对任意零测集A,f-1(A)可测;g:X→Y可测.证明复合映射gf:X→Y可测.
第8题
设{xα:α∈D),{yβ:β∈E)都是拓扑空间x中的网,若存在映射F:E→D使
(SN1)yβ=xF(β);
(SN2)α∈D,β0∈E,当时有;
则称{yβ:β∈E}是{xα:α∈D}的子网.证明:若网{xα:α∈D}收敛于x,则它的任何子网{yβ:β∈E}也收敛于x.
第9题
A.集合{x∈X:f(x)〉O}是x的开集
B.集合{x∈X:f(x)=0I是x的开集
C.对任意实数a,{x∈X:f(x)≤a}是x的闭集
D.对任意实数a,{x∈X:f(x)〉B}是x的开集
第10题
设(X,ρ)是度量空间,T:是上半连续的集值映射,证明f(x)=ρ(x,Tx)是下半连续函数.
第11题
设(X,ρ)为度量空间,T:X→X为映射,若存在常数β>1使ρ(Tx,Ty)≥βρ(x,y),x,y∈X,则称T为扩张映射.设X是完备的,证明满的扩张映射必存在唯一的不动点,并举例说明非满射的扩张映射未必有不动点.
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