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设X=X₁*X₂*…*Xₙ是n≥1个拓扑空间X₁,X₂,…,Xₙ的积空间,则映射f:X→Xj(j=1,2…,n)都是满的连续开映射。

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第1题

设X=X₁*X₂*…*Xₙ是n≥1个拓扑空间X₁,X₂,…,Xₙ的积空间,Y也是拓扑空间,则映射f:Y→X是连续映射当且仅当对于每一个j=1,2,…,n,复合映射Pj。f:Y—X,是(),其中每一个Pj:X→Xj都是投射。
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第2题

设X为拓扑空间,f:X→连续.证明A={x∈X:f(x)=0}是X的闭集.

设X为拓扑空间,f:X→连续.证明A={x∈X:f(x)=0}是X的闭集.

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第3题

设X与Y是赋范空间,若映射T: X[图]Y满足(),则称T是拓...

设X与Y是赋范空间,若映射T: XY满足(),则称T是拓扑同构映射.

A、T是双射

B、T是线性映射

C、T是连续的

D、是连续的

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第4题

设F(x)是由距离空间X到距离空间X1中的连续映射,A在X中稠密,证明:f(A)在F(X)中稠密。

设F(x)是由距离空间X到距离空间X1中的连续映射,A在X中稠密,证明:f(A)在F(X)中稠密。

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第5题

设X和Y都是赋范空间,X是有限维空间,证明从X到Y的线性映射都是连续的。
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第6题

设X=X1×X2×…×Xn为拓扑空间X1,X2,…,Xn的积空间,每一个Xj为紧致拓扑空间,则x为()空间。
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第7题

设(X,,μ)是测度空间,其中X是局部紧的σ-紧的Hausdorff空间,拓扑为τX,,μ是正则的且对X的任何紧集K有μ(K)<∞(注

设(X,,μ)是测度空间,其中X是局部紧的σ-紧的Hausdorff空间,拓扑为τX,μ是正则的且对X的任何紧集K有μ(K)<∞(注意就是这样的空间).设(Y,τY)为拓扑空间,f:X→X连续,且对任意零测集A,f-1(A)可测;g:X→Y可测.证明复合映射gf:X→Y可测.

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第8题

设{xα:α∈D),{yβ:β∈E)都是拓扑空间x中的网,若存在映射F:E→D使 (SN1)yβ=xF(β); (SN2)α∈D,β0∈E,当时有; 则

设{xα:α∈D),{yβ:β∈E)都是拓扑空间x中的网,若存在映射F:E→D使

(SN1)yβ=xF(β)

(SN2)α∈D,β0∈E,当时有

则称{yβ:β∈E}是{xα:α∈D}的子网.证明:若网{xα:α∈D}收敛于x,则它的任何子网{yβ:β∈E}也收敛于x.

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第9题

设x是拓扑空间,R是实数空间,f:X→R是连续映射,则下面不正确的命题是()。

A.集合{x∈X:f(x)〉O}是x的开集

B.集合{x∈X:f(x)=0I是x的开集

C.对任意实数a,{x∈X:f(x)≤a}是x的闭集

D.对任意实数a,{x∈X:f(x)〉B}是x的开集

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第10题

设(X,ρ)是度量空间,T:是上半连续的集值映射,证明f(x)=ρ(x,Tx)是下半连续函数.

设(X,ρ)是度量空间,T:是上半连续的集值映射,证明f(x)=ρ(x,Tx)是下半连续函数.

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第11题

设(X,ρ)为度量空间,T:X→X为映射,若存在常数β>1使ρ(Tx,Ty)≥βρ(x,y),x,y∈X,则称T为扩张映射.设X是完备的,证明

设(X,ρ)为度量空间,T:X→X为映射,若存在常数β>1使ρ(Tx,Ty)≥βρ(x,y),x,y∈X,则称T为扩张映射.设X是完备的,证明满的扩张映射必存在唯一的不动点,并举例说明非满射的扩张映射未必有不动点.

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