设X，Y是两个度量空间，假定映射f：X→Y在点x∈X处连续，试用ε-ξ语言描述这一事实。

设f_x(x₀，y₀)存在，f_y(x，y)在(x_y，y_y)某邻域内存在且在该点处连续，

证明f(x，y)在(x₀，y₀)处可微

设f_x(x₀，y₀)存在，f_y(x，y)在(x_y，y_y)某邻域内存在且在该点处连续，

证明f(x，y)在(x₀，y₀)处可微

设(X，ρ)是度量空间，T：是上半连续的集值映射，证明f(x)=ρ(x，Tx)是下半连续函数．

设，证明(1)f(x，y)在点(0，0)处连续；(2)f_x(0，0)，f_y(0，0)都存在；(3)f(x，y)在点(0，0)处不可微。

设u=φ(x，y)与v＝ψ(x，y)在xy平面中的点集E上一致连续；φ与ψ把点集正映射为uv平面中的点集D，f(u，v)在D上一致连续．证明复合函数f(φ(x，y)，ψ(x，y))在E上一致连续．

设(X，ρ)是紧度量空间，T是X到自身的映射且满足条件：对任意x，y∈X，当x≠y时，ρ(Tx，Ty)＜ρ(x，y)．证明T在X上有唯一不动点．

设X与Y是赋范空间，若映射T: XY满足（），则称T是拓扑同构映射.

A、T是双射

B、T是线性映射

C、T是连续的

D、是连续的

设函数

证明：(1)f_x(0，0)与f_y(0，0)存在；(2)f_y(x，y)与f_y(x，y)在点(0，0)处不连续；(3)f(x，y)在点(0，0)处可微

设f_x(x，y)在(x₀，y₀)的某邻域内存在且在(x₀，y₀)处连续，又f_y(x，y)存在，证明f(x，y)在点(x₀，y₀)处可微

设(X，ρ)为度量空间，T：X→X为映射，若存在常数β＞1使ρ(Tx，Ty)≥βρ(x，y)，x，y∈X，则称T为扩张映射．设X是完备的，证明满的扩张映射必存在唯一的不动点，并举例说明非满射的扩张映射未必有不动点．