设X是拓扑空间，下面不正确的命题是（）。

A.若{xk}在X中收敛，则极限唯一

B.若X是第一可数的，{xk}在X中收敛，则极限唯一

C.若X是T₂空间，{xk}在X中收敛，则极限唯一

D.若X是正则的空间，{xk}在X中收敛，则极限唯一

A.若X是第二可数的，则X是Lindelof空间

B.若X是第二可数的，则X是可分的

C.若X是Lindelof的度量空间，则X是可分的

D.若X是Lindelof空间，则X是可分的

A.若X是可度量化空间，则Y是可度量化空间

B.若X是可度量化的完备空间，则Y是可度量化的完备的空间

C.若X是离散空间，则Y是离散空间

D.若X是Hausdorff空间，则Y是Hausdorff空间

设X与Y是赋范空间，若映射T: XY满足（），则称T是拓扑同构映射.

A、T是双射

B、T是线性映射

C、T是连续的

D、是连续的

设X是拓扑空间，若X的任意两个隔离子集A，B分别有开邻域U和V使，则称X是完全正规空间．证明拓扑空间是完全正规空间的当且仅当它的每个子空间完全正规．

设X和Y是两个Banach空间，T：X→Y是有界线性算子，若T(X)不是第一纲的，证明T(X)=Y．

设X为赋范空间，z∈X，f∈X'。求证：若T：X→X定义为

T(x)=f(x)z， x∈X。

则T为紧线性算子。

设X是以ρ为距离的紧空间，T是X到它自身的映射。若对任何x，y∈X，当x≠y时，有

ρ(T_x，T_y)＜ρ(x，y)，

则T有惟一的不动点。

设ΩC为开区域(即连通开集)，X为复Banach空间．若x(t)：Ω→X在Ω处处可导，则称x(t)在Ω上解析．若任意f∈X^*，f(x(t))为Ω上通常解析函数，则称x(t)在Ω上弱解析．证明Dunford定理：x(t)在Ω上解析当且仅当x(t)在Ω上弱解析．

设T是Hilbert空间X上有界线性算子.若存在X的一个稠密的线性子空间X₀,使对任意x∈X₀,成立||Tx||=|x|,H的值域在X中稠密.求证:T是酉算子.

T(x)=f(x)z， x∈X。

则T为紧线性算子。