设A是复数域C上一个n阶矩阵,λ1,λ2,···,λn是A的全部特征根(重根按重数计算)。
(i)如果f(x)是C上任意一个次数大于零的多项式,那么f(λ1),f(λ2),···,f(λn)是f(A)的全部特征根;
(ii)如果A可逆,那么λi≠0,i=1,2,...,n,并且是A-1的全部特征根。
第1题
(i)证明:存在C上n阶可逆矩阵T,使得
(ii)对n作数学归纳法证明,复数域C上任意一个n阶矩阵都与一个上三角形矩阵
相似,这里主对角线以下的元素都是零。
第2题
(i)证明,r是非负整数,由此推出,如果A是幂零矩阵,那么αA是V的幂零变换;
(ii)如果A=D+N是A的若尔当分解,其中D是A的可对角化部分,N是幂零部分,那么αD和αN分别是线性变换αA的若尔当分解。
第3题
令
(i)证明N是幂零矩阵,于是B=D+N。这样能不能作为定理2的证明?
(ii)设,B=D+N是不是B的若尔当分解?B的若尔分解应该是什么样子?
(iii)仔细地读一下定理2,再看一看用(i)作为定理2的证明错在哪里?
第4题
再设α=(c1,c2,...,cn)'是齐次线性方程组AX=0的一个非零解,求证α至少有s+1个非零分量。
第5题
A.k1=0且k2=0
B.k1≠0且k2≠0
C.k1k2=0
D.k1≠0而k2=0
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