设G为M_n（R)上的加法群，n≥2，判断下列子集是否构成子群。（1)全体对称矩阵。（2)全体对角矩阵。（3)全体行列式大于等于0的矩阵。（4)全体上（下)三角矩阵。

已知(Z，+)为整数加法群，且为无限群，设集合I_E={x|x=2n，n∈Z}，证明：(I_E，+)为(Z，+)的一个无限子群．

判断下列集合关于指定的运算是否构成半群、独异点和群。

(1)a是正实数，G={aⁿ|n∈Z}，运算是普通乘法。

(2)Q⁺为正有理数集，运算是普通乘法。

(3)Q⁺为正有理数集，运算是普通加法。

(4)一元实系数多项式的集合关于多项式的加法。

(5)一元实系数多项式的集合关于多项式的乘法。

(6)，n为某个给定的正整数，C为复数集，运算是复数乘法。

设R为所有有理数对(x₁，x₂)作成的集合，加法和乘法分别为

问R是否作成环?是否可交换和有单位元?哪些元素有逆元?

判断下列集合关于给定运算能否构成半群、独异点和群。如果不能，请说明理由。

(1){n√2|n∈Z}关于普通加法。

(2){m+n√2|m，n∈Z}关于普通乘法。

(3)实数集R关于运算，其中运算定义为ab=2(a+b)。

(4)设R为实数集，R×R关于运算，其中运算定义为。

设,i为虚数单位,即i²=-1.验证G关于复数加法构成群.

(R，+)是实数集上的加法群，设f：x→e^2πix，x∈R，f是否为同态映射?如果是，请写出同态像和同态核．

设和+,表示模j加法。

(a)证明A₂×A₂同构于A₁。

(b)描述A₂×A₃上同余关系的集合。

(c)描述A_m上同余关系集合，这里m∈I₊.

设G是一个v阶交换群，运算记成加法，设D是G的一个k元子集，如果G的每个非零元a都有λ种方式表示成a=d1-d2,那么称D是G的什么?

A、(v,k,λ)-差集

B、(v,k,λ)-合集

C、(v,k,λ)-子集

D、(v,k,λ)-空集

设<Z₆₊₆>是一个群，这里+₆是模6加法，Z₆={[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]}，试写出<Z₆₊₆>中的所有子群